高中數(shù)學(xué)立體幾何一直是數(shù)學(xué)的一大難點。因為它要求學(xué)生有立體感，在一個平面內(nèi)把幾何圖形的立體感想象出來。同時，立體幾何題目也是高考數(shù)學(xué)核心考點，從近幾年全國及自主命題各省市高考試題分析，隨著課程改革實施范圍的擴(kuò)大，立體幾何考題側(cè)重考查同學(xué)們的空間概念、邏輯思維能力、空間想象能力及運算能力．高考立體幾何試題在選擇、填空題中側(cè)重立體幾何中的概念型、空間想象型、簡單計算型問題，而解答題側(cè)重立體幾何中的邏輯推理型問題，主要考查線線關(guān)系、線面關(guān)系和面面關(guān)系，及空間角、面積與體積的計算，其解題方法一般都有兩種或兩種以上，并且一般都能用空間向量來求解． 
1、平行、垂直位置關(guān)系的論證的策略： (1)由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。 (2)利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線(或面)是解題的常用方法之一。 (3)三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時應(yīng)優(yōu)先考慮。 2、空間角的計算方法與技巧： 主要步驟：一作、二證、三算；若用向量，那就是一證、二算。 (1)兩條異面直線所成的角 ①平移法：②補形法：③向量法： (2)直線和平面所成的角 ①作出直線和平面所成的角，關(guān)鍵是作垂線，找射影轉(zhuǎn)化到同一三角形中計算，或用向量計算。 ②用公式計算. (3)二面角 ①平面角的作法：(i)定義法；(ii)三垂線定理及其逆定理法；(iii)垂面法。 ②平面角的計算法：(i)找到平面角，然后在三角形中計算(解三角形)或用向量計算；(ii)射影面積法；(iii)向量夾角公式. 3、空間距離的計算方法與技巧： (1)求點到直線的距離：經(jīng)常應(yīng)用三垂線定理作出點到直線的垂線，然后在相關(guān)的三角形中求解，也可以借助于面積相等求出點到直線的距離。 (2)求兩條異面直線間距離：一般先找出其公垂線，然后求其公垂線段的長。在不能直接作出公垂線的情況下，可轉(zhuǎn)化為線面距離求解(這種情況高考不做要求)。 (3)求點到平面的距離：一般找出(或作出)過此點與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質(zhì)過該點作出平面的垂線，進(jìn)而計算；也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離；有時直接利用已知點求距離比較困難時，我們可以把點到平面的距離轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，從而“轉(zhuǎn)移”到另一點上去求“點到平面的距離”。求直線與平面的距離及平面與平面的距離一般均轉(zhuǎn)化為點到平面的距離來求解。 4、熟記一些常用的小結(jié)論 諸如：正四面體的體積公式是；面積射影公式；“立平斜關(guān)系式”；最小角定理。弄清楚棱錐的頂點在底面的射影為底面的內(nèi)心、外心、垂心的條件，這可能是快速解答某些問題的前提。 5、平面圖形的翻折、立體圖形的展開等一類問題，要注意翻折前、展開前后有關(guān)幾何元素的“不變性”與“不變量”。 6、與球有關(guān)的題型，只能應(yīng)用“老方法”，求出球的半徑即可。 7、立體幾何讀題： (1)弄清楚圖形是什么幾何體，規(guī)則的、不規(guī)則的、組合體等。 (2)弄清楚幾何體結(jié)構(gòu)特征。面面、線面、線線之間有哪些關(guān)系(平行、垂直、相等)。 (3)重點留意有哪些面面垂直、線面垂直，線線平行、線面平行等。 8、解題程序劃分為四個過程： ①弄清問題。也就是明白“求證題”的已知是什么？條件是什么？未知是什么？結(jié)論是什么？也就是我們常說的審題。 ②擬定計劃。找出已知與未知的直接或者間接的聯(lián)系。在弄清題意的基礎(chǔ)上，從中捕捉有用的信息，并及時提取記憶網(wǎng)絡(luò)中的有關(guān)信息，再將兩組信息資源作出合乎邏輯的有效組合，從而構(gòu)思出一個成功的計劃。即是我們常說的思考。 ③執(zhí)行計劃。以簡明、準(zhǔn)確、有序的數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號將解題思路表述出來，同時驗證解答的合理性。即我們所說的解答。 ④回顧。對所得的結(jié)論進(jìn)行驗證，對解題方法進(jìn)行總結(jié)。 此外，我們平時在學(xué)習(xí)立體幾何時要注意哪些呢？ 第一要建立空間觀念，提高空間想象力。從認(rèn)識平面圖形到認(rèn)識立體圖形是一次飛躍，要有一個過程。有的同學(xué)自制一些空間幾何模型并反復(fù)觀察，這有益于建立空間觀念，是個好辦法。有的同學(xué)有空就對一些立體圖形進(jìn)行觀察、揣摩，并且判斷其中的線線、線面、面面位置關(guān)系，探索各種角、各種垂線作法，這對于建立空間觀念也是好方法。此外，多用圖表示概念和定理，多在頭腦中“證明”定理和構(gòu)造定理的“圖”，對于建立空間觀念也是很有幫助的。 第二要掌握基礎(chǔ)知識和基本技能。要用圖形、文字、符號三種形式表達(dá)概念、定理、公式，要及時不斷地復(fù)習(xí)前面學(xué)過的內(nèi)容。這是因為《立體幾何》內(nèi)容前后聯(lián)系緊密，前面內(nèi)容是后面內(nèi)容的根據(jù)，后面內(nèi)容既鞏固了前面的內(nèi)容，又發(fā)展和推廣了前面內(nèi)容。在解題中，要書寫規(guī)范，如用平行四邊形ABCD表示平面時，可以寫成平面AC，但不可以把平面兩字省略掉；要寫出解題根據(jù)，不論對于計算題還是證明題都應(yīng)該如此，不能想當(dāng)然或全憑直觀；對于文字證明題，要寫已知和求證，要畫圖；用定理時，必須把題目滿足定理的條件逐一交待清楚，自己心中有數(shù)而不把它寫出來是不行的。要學(xué)會用圖（畫圖、分解圖、變換圖）幫助解決問題；要掌握求各種角、距離的基本方法和推理證明的基本方法——分析法、綜合法、反證法。 第三要不斷提高各方面能力。通過聯(lián)系實際、觀察模型或類比平面幾何的結(jié)論來提出命題；對于提出的命題，不要輕易肯定或否定它，要多用幾個特例進(jìn)行檢驗，最好做到否定舉出反面例子，肯定給出證明。歐拉公式的內(nèi)容是以研究性課題的形式給出的，要從中體驗創(chuàng)造數(shù)學(xué)知識。要不斷地將所學(xué)的內(nèi)容結(jié)構(gòu)化、系統(tǒng)化。所謂結(jié)構(gòu)化，是指從整體到局部、從高層到低層來認(rèn)識、組織所學(xué)知識，并領(lǐng)會其中隱含的思想、方法。所謂系統(tǒng)化，是指將同類問題如平行的問題、垂直的問題、角的問題、距離的問題、惟一性的問題集中起來，比較它們的異同，形成對它們的整體認(rèn)識。牢固地把握一些能統(tǒng)攝全局、組織整體的概念，用這些概念統(tǒng)攝早先偶爾接觸過的或是未察覺出明顯關(guān)系的已知知識間的聯(lián)系，提高整體觀念。
要注意積累解決問題的策略。如將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面問題，又如將求點到平面距離的問題，或轉(zhuǎn)化為求直線到平面距離的問題，再繼而轉(zhuǎn)化為求點到平面距離的問題；或轉(zhuǎn)化為體積的問題。要不斷提高分析問題、解決問題的水平：一方面從已知到未知，另方面從未知到已知，尋求正反兩個方面的知識銜接點——一個固有的或確定的數(shù)學(xué)關(guān)系。要不斷提高反省認(rèn)知水平，積極反思自己的學(xué)習(xí)活動，從經(jīng)驗上升到自動化，從感性上升到理性，加深對理論的認(rèn)識水平，提高解決問題的能力和創(chuàng)造性。 |